圆锥曲线、数列、导数预备、函数综合”。

    很有压迫感。

    我翻到她折了角的那一页。

    题目是圆锥曲线。

    【已知椭圆c：x2/4+y2=1，点p为椭圆上一动点，过p作斜率为k的直线l，与椭圆交于另一点q。若线段pq的中点m始终落在直线x+2y=m上，求m的取值范围，并讨论当|pq|取得最大值时直线l的斜率。】

    我看完题，沉默了一会儿。

    “你期中考会考到这种？”

    “压轴可能会变形。”

    “云川一中有时候挺不做人。”

    “所以提前看。”

    她说得很平静。

    我拿起笔，在草稿纸上画椭圆。

    “这题如果硬联立，会很长。”

    “我试过。”她把自己的草稿递给我，“算到一半式子爆了。”

    草稿写得很整齐。

    连爆掉的式子都爆得很有秩序。

    我看了两行。

    “你把p点坐标设成了x?，y?，再联立直线。”

    “嗯。”

    “能做，不过不划算。”

    “你想怎么做？”

    我在图上点了个p，又点了个q。

    “先用中点弦公式。”

    她抬眼。

    “期中考试能用？”

    “能推，不直接引用。”

    我在纸上写下椭圆方程。

    “设pq中点m为（u，v）。直线pq的斜率是k。椭圆x2/4+y2=1，对称性比较好。中点弦所在直线的斜率和中点坐标有关系。”

    我写：

    对于椭圆 x2/a2 + y2/b2 = 1，过点m(u,v)的弦斜率k满足 k = - b2u / a2v。

    这里a2=4，b2=1。

    所以 k = - u / 4v。

    林晚星看着式子。

    “如果v等于0呢？”

    “单独讨论。v=0时中点在x轴上，对应弦竖直或者特殊情况。题目问范围，先看一般情况，再补边界。”

    她点头。

    “继续。”

    “题目说m始终落在x+2y=m上，其实是让我们研究椭圆内哪些中点能形成弦。弦的中点必须在椭圆内部。”

    我在椭圆里面画了一片区域。

    “所有弦的中点m都在椭圆内部。反过来，椭圆内部任一点都可以作为某条弦的中点。”

    林晚星皱了下眉。

    “这句话要证明。”

    “可以用过m作任意方向直线，和椭圆交两点。只要m在椭圆内，总能找到弦。严格写的话，加一句由椭圆凸性可知。”

    “考试写凸性，老师会不会嫌？”

    “那就用代数。设过m的直线代入椭圆，二次方程有两根，m作为中点对应根的平均值。判别式大于零时成立。”

    “你还是写凸性吧。”

    “你看，也嫌麻烦。”

    她低头笑了一下。

    我继续写。

    “所以m的取值，就是直线x+2y在椭圆内部点上的范围。也就是求x+2y在椭圆上的最大最小值。”

    “可以。x2/4+y2=1，设x=2cosθ，y=sinθ。”

    我写：

    x+2y = 2cosθ + 2sinθ = 2√2 sin(θ+π/4)

    所以m∈(-2√2，2√2)，如果包括边界，要看题里‘中点落在直线’且有弦，边界在椭圆上，只能退化成点，pq不存在，所以取开区间。

    林晚星盯着那行开区间。

    “这一步很容易漏。”

    “嗯。命题人就喜欢这个。”

    “你语气像被命题人伤过。”

    “正常高中生都被伤过。”

    她把草稿纸往自己那边拉了一点。

    “那第二问呢？”

    “|pq|最大。”

    我看着图。

    “弦长最大，直觉上应该过椭圆中心，最长是长轴4。可m要落在x+2y=m上，m是变量。题目没有给固定m，所以全局最大就是长轴。”